Tutorial สำหรับ Bitmask DP & คำอธิบายวิธีทำพร้อม Code สำหรับข้อ toi20_bit_string

---

Problem

สรุปโจทย์

เรามี Binary String (สตริงที่ประกอบด้วย '1' และ '0' เท่านั้น) ความยาว \(N\) ซึ่งหากเราพิจารณา String ความยาว \(N\) ทุกรูปแบบ จะพบว่ามี \(2^N\) รูปแบบ โดยแต่ละรูปแบบ จะมีค่าน้ำหนัก \(C_i\)

การลดทอนคุณภาพ จะเป็นการเปลี่ยน '1' เป็น '0' ซึ่งสามารถทำได้ 2 วิธี

1. เปลี่ยน '1' เป็น '0'
2. เปลี่ยน '11' (อักขระ '1' สองตัวติดกัน) เป็น '00' (อักขระ '0' สองตัวติดกัน)

โดยเมื่อได้ Binary String ใหม่ที่เกิดจากการเปลี่ยน '1' เป็น '0' เราจะบวกค่าน้ำหนักของ Binary String ในขณะนั้น ไปกับ "ค่าลดทอนคุณภาพ" แล้ว Operation นี้ จะจบลงเมื่อ String กลายเป็น "00000........0" ซึ่งเราจะต้องการให้ ค่าลดทอนคุณภาพ ค่ามากที่สุด

ตัวอย่างการลดทอนคุณภาพ

\(N = 3\)
\(001 = 9\)
\(000 = 0\)
\(100 = 9\)
\(010 = 1\)
\(101 = 1\)
\(110 = 2\)
\(111 = 3\)
\(011 = 1\)

Binary String ที่กำหนดให้: \(111\)

ขั้นตอน: ค่าลดทอนคุณภาพ เริ่มต้นที่ \(C_{111}\) = 3

1. 111 -> 011 : \(ans\) เพิ่มไป \(C_{011}\) = 1 -> 4
   
2. 011 -> 001 : \(ans\) เพิ่มไป \(C_{001}\) = 9 -> 13
   

ดังนั้น คำตอบของ Binary String \(111\) คือ 13

โดยโจทย์จะกำหนด Binary String มาให้ \(Q\) อัน และให้ตอบให้ครบ

สิ่งที่ต้องทำ

เขียนโค้ดเพื่อหา ค่าลดทอนคุณภาพ ที่มีค่ามากที่สุด สำหรับ Binary String ทั้ง \(Q\) อัน

Constraints

• \(2 \leq N \leq 20\)
• \(-500,000 \leq C_i \leq 1,000,000\)

Prerequisites

• Bitmasks
• Dynamic Programming

---

Bitmask DP

สำหรับข้อนี้ เราจะใช้สิ่งที่เรียกว่า Bitmask DP ซึ่งเป็นรูปแบบการทำ Dynamic Programming ที่จะค่อนข้างพิสดารเล็กน้อย

โดย Bitmask DP นั้น ลักษณะจะเป็นการเล่นกับ เลขฐานสอง ซึ่งแทนที่จะเก็บ DP ในแต่ละ Index เราจะเก็บ DP ในแต่ละ Mask (เลขฐานสอง) แทน นั่นคือ เราจะมีทั้งหมด \(2^N\) Mask (เราต้องการเล่นกับทุกรูปแบบของเลขฐานสองที่มี \(N\) หลัก)

โดยโจทย์ส่วนใหญ่นั้น เราจะเก็บ State DP ในลักษณะของ

• \(dp[mask] =\) สามารถทำ operation บางอย่างให้มาลงที่ state ที่ \(mask\) ได้หรือไม่
• \(dp[mask] =\) min/max value ที่จะนำพาเรามายัง state ที่ \(mask\)

ลักษณะการทำ Bitmask DP ทั่วไปคือ

1. loop ตามทุกๆ \(mask\) ที่เป็นไปได้ \(O(2^N)\)
   
2. ลูปตามแต่ละตัวใน \(mask\) นั้น แล้วเช็กว่า หากสับ bit นั้นออก \((1 > 0)\) แล้ว \(dp\) ของ state นั้น เคยทำมาแล้วหรือไม่ แล้วทำได้มั้ย ดังรูปด้านล่าง (เปลี่ยนทุก bit ที่เป็น 1 ให้เป็น 0 แล้วเช็ก)
   

3. หากทำได้ ก็เอาเข้า cost function เพื่อนำมาใส่ใน \(dp[mask]\) ปัจจุบัน

โดยในโจทย์ข้อนี้ เราจะกำหนดลักษณะ DP เป็นรูปแบบที่ 2 นั่นคือ \(dp[mask] =\) ค่าที่ต่ำที่สุดที่จะนำเรามายัง state ที่ \(mask\)

---

Solution

วิธีทำ

ก่อนอื่น เราก็จะต้องรับ input ว่า สำหรับแต่ละ \(mask\) ค่าลดทอนคุณภาพของมันจะเป็นเท่าไหร่ เราก็จะรับ input มาเป็น Binary String แล้วก็เข้า function \(binary\) ที่เขียนไว้ เพื่อแปลง Binary String เป็น เลขฐานสิบ

หลักจากนั้น เราก็แค่นำไอเดียของ Bitmask DP ด้านบน ลงมาใช้ โดยเราจะเก็บว่า คำตอบที่มากที่สุดสำหรับ \(dp[mask]\) เป็นเท่าไหร่ โดยเราจะ Loop ไปทุกๆ \(mask\) (นั่นคือ วน \(2^N\) รอบ) โดยสำหรับแต่ละ \(mask\) จะคำนวณดังนี้:
Loop ครั้งที่ 1 (สับออก 1 bit)

• เช็กแต่ละ index ว่า \(mask\) ปัจจุบันในตำแหน่งที่ \(i\) เป็น 1 หรือ 0
• หากเป็น 0 ก็ข้าม
• หากเป็น 1 ให้เอา bit นั้นเป็น 0 (ตั้งชื่อว่า \(nm\) ย่อจาก \(new mask\)) แล้วก็
  เก็บ \(dp[mask] = \max(dp[mask], dp[nm] + a[mask])\) ซึ่งคือ cost function ของเรา

Loop ครั้งที่ 2 (สับออก 2 bit)

• เช็กแต่ละ index ว่า \(mask\) ปัจจุบันในตำแหน่งที่ \(i\) และ \(i+1\) เป็น 1 หรือ 0
• หากสักอันเป็น 0 ก็ข้าม
• หากเป็น 1 ทั้งคู่ ให้เอาทั้งสอง bit นั้นเป็น 0 (ตั้งชื่อว่า \(nm\) ย่อจาก \(new mask\)) แล้วก็
  เก็บ \(dp[mask] = \max(dp[mask], dp[nm] + a[mask])\)

แล้วเมื่อรับคำถามมา เราก็แค่ส่ง Output ไปเป็น \(dp[input]\) สำหรับแต่ละอินพุตได้เลย

---

Code

toi20_bit_string.cpp

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const long long mod = 1e9 + 7;
const long long inf = 1e18;

long long binary(string s){
    long long ans = 0;
    reverse(all(s));
    for (long long i = 0; i < s.length(); i++) {
        ans += (s[i] - '0') * (1 << i);
    }
    return ans;
}

int32_t main(){
    cin.tie(NULL)->sync_with_stdio(false);
    long long n, q; cin >> n >> q;
    vector <long long> a(1 << n);
    for (long long i = 0; i < (1 << n); i++) {
        string s; cin >> s;
        long long num; cin >> num;
        a[binary(s)] = num;
    }
    vector <long long> dp(1 << n, -inf); dp[0] = 0;
    for (long long mask = 1; mask < (1 << n); mask++) {
        // swap 1 bit
        for (long long i = 0; i < n; i++) {
            if ((mask & (1 << i)) == 0) continue;
            long long nm = mask ^ (1 << i);
            dp[mask] = max(dp[mask], dp[nm] + a[mask]);
        }
        // swap 2 bits
        for (long long i = 0; i < n - 1; i++) {
            if ((mask & (1 << i)) == 0 || (mask & (1 << (i + 1))) == 0) continue;
            long long nm = mask ^ (1 << i) ^ (1 << (i + 1));
            dp[mask] = max(dp[mask], dp[nm] + a[mask]);
        }
    }
    while (q--) {
        string s; cin >> s;
        cout << dp[binary(s)] << "\n";
    }
}

Total Time Complexity

\(O(2^N \cdot N)\)